2018版《高等数学Ⅱ1》课程教学大纲

课程名称		高等数学Ⅱ1	英文名称	Higher Mathematics Ⅱ1
课程编码		181500704	课程类型	学科基础课
学分数		4	先修课程	初等数学
学时数		72	其中实验学时	0
其中实践学时		0	适用范围	考研数学科目为“数二”或对 高等数学要求一般的理工类专业
制定单位		数学与信息科学学院
执笔者		万丽	审核者	邓小成

一、教学大纲说明

（一）课程的性质、地位、作用和任务

《高等数学Ⅱ1》是一门必修的公共基础课，是面向考研数学科目为“数二”或对高等数学要求一般的理工类专业学生开设的学科基础课课程。

数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。现代数学内容更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化。能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。

大学数学泛指非数学专业本科生的数学基础课程，包括微积分、线性代数、空间解析几何、概率论与数理统计，它们都是必修的重要基础理论课。通过这些课程的学习，应使学生获得一元函数微积分及其应用、多元函数微积分及其应用、无穷级数、常微分方程与差分方程、向量代数与空间解析几何、线性代数、概率论与数理统计等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的连续量、离散量和随机量方面的数学基础。在传授知识的同时，要注意培养学生进行抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的探索精神和创新能力。

《高等数学Ⅱ1》是大学数学课程的一门子课程，不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体。教师在教学过程中，不仅仅要传授大纲所列教学内容内的数学知识，也要努力揭示蕴含在数学知识中的重要思维方法。要以知识（概念、理论和应用等）为载体，将渗透在知识中的思维方法，用通俗而精炼的语言画龙点睛地揭示出来，使学生受到理性思维的熏陶和美感的享受，对学生能力和素质的提高产生潜移默化的作用。

为达成工程认证毕业要求所对应的大学数学课程教学目标，通过本课程的学习，使学生达到以下（二）中的2个课程教学目标。

（二）教学目的和要求

	课程教学目标	毕业要求
1	较系统地获得大纲所列内容的基本知识，具有比较熟练的计算能力，能为基本的工程计算打下数学基础，能运用数学工具描述、处理和评价工程问题。	毕业要求1：工程知识。 指标点1-1：具有从事工程工作所需的数学与自然科学知识并能运用其解决复杂工程问题。
2	掌握该课程的基本理论与方法，具有一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，归纳总结能力，创新能力，能应用数学的基本理论与方法，识别、表达、分析工程问题，并能通过逻辑推理、归纳总结，获得有效结论。	毕业要求2：问题分析。 指标点2-1：能够识别、表达复杂工程问题，以获得有效结论。

（三）课程教学方法与手段

教学方法与教学手段应服务于教学目标的实现，讲究实效。本课程的教学以课堂教学为主，辅以习题练习与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固。在课堂教学中加强启发式、讨论式，调动学生的学习主动性。应用现代教学手段到教学中，并将现代教学手段的应用纳入教学计划内，有计划、有步骤地进行教学手段的改革。

（四）课程与其它课程的联系

《高等数学Ⅱ》是《概率论与数理统计》以及各专业相关课程的先修课程，《高等数学Ⅱ1》是本课程第一学期的课程。

（五）教材与教学参考书

1、吴赣昌，《高等数学》（农林类·第二版），中国人民大学出版社，2012年。

2、同济大学应用数学系，《高等数学》（第七版），高等教育出版社，2014年。

3、詹姆斯·斯图尔特,《微积分》（第六版），中国人民大学出版社，2014年。

4、张顺燕，《数学的思想、方法和应用》（第三版），北京大学出版社，2009年。

5、吴赣昌，《高等数学》学习辅导与习题解答（农林类·第二版），中国人民大学出版社，2012年。

6、同济大学应用数学系，《高等数学学习辅导与习题选解》，高等教育出版社，2007年。
　

二、课程的教学内容和教学要求

说明：按每学时能完成的教学量编排每节教学内容。

第一章 函数极限与连续

教学要求：

（1）了解基本初等函数的性质，了解反函数的概念。

（2）理解复合函数的概念，理解初等函数的概念。

（3）会建立简单实际问题中的函数关系式。

（4）理解极限的概念，了解极限 ， 定义（不要求学生做给出 求 或 的习题）。

（5）掌握极限的四则运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。

（6）了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）和两个存在准则（夹逼准则与单调有界准则），会用两个重要极限与求极限。

（7）了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小求极限。

（8）理解函数在一点连续和在一个区间连续的概念。

（9）了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。

（10）了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。

教学内容：

1-1 基本初等函数

1-2 初等函数

1-3 数列极限的概念

1-4 数列极限的性质

1-5 函数极限的概念

1-6 函数极限的性质

1-7 无穷小与无穷大

1-8 极限运算法则

1-9 极限存在准则

1-10 两个重要极限

1-11 无穷小的比较

1-12 函数的连续性与间断点

1-13 连续函数的运算与性质

教学重点：

反三角函数的概念，复合函数的概念，初等函数的概念，极限的概念，极限的四则运算法则，函数连续性的概念。

难点：

极限定义中“ 的意义”，夹逼法的应用，等价无穷小在怎样的情形下可作代换，函数间断点的分类。
　

第二章 导数与微分

教学要求：

（1）理解导数的概念及其几何意义（不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题），了解函数的可导性与连续性之间的关系。

（2）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。

（3）掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。

（4）理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。

（5）了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法（不要求学生求函数的 阶导数的一般表达式）。

（6）会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。

教学内容：

2-1 导数的概念

2-2 按定义求导举例

2-3 函数的求导法则

2-4 初等函数求导举例

2-5 导数应用举例

2-6 高阶导数

2-7 隐函数的导数

2-8 函数的微分

2-9 函数的局部线性化

2-10 相关变化率

教学重点：

导数的概念及其几何意义，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则，求初等函数的一阶、二阶导数，微分的概念。

难点：

用导数描述一些物理量，分段函数的可导性，求隐函数和参数方程所确定的函数的二阶导数。

　

第三章 导数的应用

教学要求：

（1）理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理（对三个定理的分析证明不作要求，并且不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧），会用洛必达法则求不定式的极限。

（2）理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。

（3）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。

教学内容：

3-1 罗尔定理

3-2 拉格朗日中值定理和柯西中值定理

3-3 洛必达法则

3-4 不定式的极限计算

3-5 函数的单调性与极值

3-6 数学建模——最优化

3-7 函数图形的凹凸性与拐点

3-8 函数图形的描绘

教学重点：

罗尔定理，拉格朗日中值定理，洛必达法则，判断函数的单调性，函数的极值及其求法，函数的最大值和最小值的求法。

难点：

利用微分中值定理对一些命题作证明，不定式的极限计算，利用函数的单调性证明不等式。

　

第四章 不定积分

教学要求：

（1）理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。

（2）掌握不定积分的基本公式。

（3）掌握不定积分的换元法与分部积分法（淡化特殊积分技巧的训练，对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练）。

教学内容：

4-1 不定积分的概念与性质

4-2 直接积分法

4-3 第一类换元积分法（凑微分法）

4-4 求原函数——凑微分

4-5 第二类换元积分法（积分变量代换法）

4-6 几类特定的积分变量代换

4-7 分部积分法

4-8 分部积分基本题型

教学重点：

原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，换元积分法和分部积分法。

难点：

分部积分法，特殊函数的积分。

　

第五章 定积分及其应用

教学要求：

（1）理解定积分的概念和几何意义（对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求），了解定积分的性质和积分中值定理。

（2）理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼茨公式。

（3）掌握定积分的换元法与分部积分法。

（4）了解两类广义积分及其收敛性的概念。

（5）掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法）。

（6）会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式。

教学内容：

5-1 定积分的概念

5-2 定积分的性质

5-3 微积分基本定理

5-4 牛顿-莱布尼茨公式

5-5 定积分的换元法

5-6 定积分的分部积分法

5-7 无穷限的广义积分

5-8 无界函数的广义积分

5-9 定积分的微元法

5-10 平面图形的面积

5-11 体积

5-12 物理应用举例

教学重点：

定积分的概念，变限积分函数，牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法和分部积分法，无穷限的广义积分，微元法，利用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积。

难点：

定积分的概念，变限积分函数，定积分的换元法，微元法，建立物理量的积分表达式。
　

三、学时分配

教学内容			各教学环节学时分配									支撑课程 教学目标
章节		主要内容	学时分配	讲授	实验	讨论	习题	实践	在线学习	其它
第一章		函数极限与连续	18	13			5					1、2
第二章		导数的应用	12	10			2					1、2
第三章		中值定理与导数的应用	10	8			2					1、2
第四章		不定积分	10	8			2					1、2
第五章		定积分及其应用	16	12			4					1、2
		机动、节假日	6							6
合计			72	51			15			6

四、课程考核

考核方式		考核要求	考核权重（%）
平 时 成 绩	课堂考勤	考核上课出勤情况。	10左右	40 左右
	随堂测验	考核课堂提问、随堂小测验、期中考试等情况。	15或以上
	课程作业	考核平时作业、读书报告等，要求独立完成。	15或以上
期末考试		闭卷考试。	60左右